Question

14．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AC=2AB，M是CC₁的中点，N是棱AC上的点，且$\overrightarrow{{A_1}N}⊥\overrightarrow{BM}，|{\overrightarrow{{A_1}N}}|=2\sqrt{5}$，求三棱锥A₁-ABN的体积．

Answer 1

分析 以A为原点建立坐标系，设AB=a，AN=b，求出$\overrightarrow{{A}_{1}N}$和$\overrightarrow{BM}$的坐标，列出方程组求出a，b的值，代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：以A为原点，以AC，AB，AA₁所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=a，AN=b，则A₁（0，0，2a），B（0，a，0），N（b，0，0），M（2a，0，a），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（b，0，-2a），$\overrightarrow{BM}$=（2a，-a，a），
∵$\overrightarrow{{A_1}N}⊥\overrightarrow{BM}，|{\overrightarrow{{A_1}N}}|=2\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2ab-2{a}^{2}=0}\\{{b}^{2}+4{a}^{2}=20}\end{array}\right.$，解得a=b=2，
∴V${\;}_{{A}_{1}-ABN}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABN}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．