Question

如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB=2BF，DE丄平面ABCD，G为EF中点．
（1）求证：CF∥平面ADE；
（2）求证：平面ABG丄平面CDG．

Answer 1

分析：（1）利用平面BCF中，有两条相交直线BC和BF平行于两一个平面中的两条相交直线 AD 和DE，得到平面
BCF∥平面ADE．
（2）由勾股定理 求得GM、GN的长，证明GM⊥GN，利用等腰三江凹形的性质证明GN⊥CD，从而GN⊥AB，
得到 GN垂直于平面ABG，从而证得平面ABG丄平面CDG．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，∴BC∥AD，BF∥DE，这样，平面BCF中，
有两条相交直线BC，BF平行于两一个平面中的两条相交直线 AD，DE，故有平面BCF∥平面ADE，
∴CF∥平面ADE．
（2）取AB的中点M，CD的中点N．∵AB=2BF，设BF=1，则AB=2．∵DE丄平面ABCD，
可得面BDEF⊥面ABCD．设AC 和BD交于点 O，则GO⊥面ABCD．
∴GM=

GO2+OM2

=

2

=GN，又 MN=2，∴由勾股定理可得 GM⊥GN．
由G为EF中点，可得GC=GD=

3

，∴GN⊥CD，GN⊥AB．
这样面CDG中的直线GN垂直于平面GAB内的两条相交直线AB和 GM，
∴平面ABG丄平面CDG．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行、面面垂直的判定定理，证明GN垂直于平面ABG，是解题的难点和关键，属于中档题．