Question

8．已知等比数列{a_n}满足a₂=2，a₂•a₅=32，S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=1，S₅=25．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，a₂•a₅=32，可得a₅=16=${a}_{2}{q}^{3}$=2q³，解得q，利用等比数列的通项公式可得a_n．设等差数列{b_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出b_n．
（II）a_n+b_n=（2n-1）+2^n-1．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₂=2，a₂•a₅=32，
∴a₅=16=${a}_{2}{q}^{3}$=2q³，解得q=2，
∴a_n=2×2^n-2=2^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₁=1，S₅=25．∴5+$\frac{5×4}{2}$d=25，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）a_n+b_n=（2n-1）+2^n-1．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=n²+2ⁿ-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．