Question

18．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，F为C的右焦点，A（0，-2），直线FA的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设E（x₀，y₀）是C上一点，从坐标原点O向圆E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=3作两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别是k₁，k₂，求证：
（i）k₁•k₂=-$\frac{1}{3}$；
（ii）|OP|²+|OQ|²是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率以及斜率公式列出方程组，即可求解C的方程；
（Ⅱ）（i）设E（x₀，y₀）是C上一点，从坐标原点O向圆E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=3作两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别是k₁，k₂，推出$\frac{{|{k_1}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\sqrt{3}$，$\frac{{|{k_2}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}=\sqrt{3}$，整理${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$，得到k₁•k₂=-$\frac{1}{3}$；
（ii）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理转化求解|OP|²+|OQ|²化简求解为定值．

解答 解：（Ⅰ）由已知离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，F为C的右焦点（c，0），A（0，-2），
直线FA的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{2}{c}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{3}\\ c=2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
C的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$． …（4分）
（Ⅱ）（i）依题意有$\frac{{|{k_1}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_1}^2}}}=\sqrt{3}$，$\frac{{|{k_2}{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{1+{k_2}^2}}}=\sqrt{3}$，整理得$（{x_0}^2-3）{k_1}^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+{y_0}^2-3=0$，$（{x_0}^2-3）{k_2}^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+{y_0}^2-3=0$．
所以k₁，k₂是关于x方程$（{x_0}^2-3）{x^2}-2{x_0}{y_0}x+{y_0}^2-3=0$的两根，
所以${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$，因为$\frac{{{x_0}^2}}{12}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，所以${y_0}^2=4-\frac{{{x_0}^2}}{3}$，
因此${k_1}•{k_2}=\frac{{4-\frac{{{x_0}^2}}{3}-3}}{{{x_0}^2-3}}=-\frac{1}{3}$． …（8分）
（ii）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${y_1}^2{y_2}^2=\frac{1}{9}{x_1}^2{x_2}^2$，${y_1}^2=4-\frac{{{x_1}^2}}{3}$，${y_2}^2=4-\frac{{{x_2}^2}}{3}$，
所以$（4-\frac{{{x_1}^2}}{3}）（4-\frac{{{x_2}^2}}{3}）=\frac{1}{9}{x_1}^2{x_2}^2$，${x_1}^2+{x_2}^2=12$，从而${y_1}^2+{y_2}^2=8-\frac{{{x_1}^2+{x_2}^2}}{3}=4$，
因此$|OP{|^2}+|OQ{|^2}=（{x_1}^2+{y_1}^2）+（{x_2}^2+{y_2}^2）=16$．…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．