Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，
可得椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，（*）
依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（-2，0），
此点为椭圆的左顶点，所以x₁=-2，y₁=0 ①，
由（*）式，${x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$ ②，
得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4k③，
由①②③，可得${x_2}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\;{y_2}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，
由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，
即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$．$\overrightarrow{BP}=（-2，\;1），\;\overrightarrow{BQ}=（{x_2}，\;{y_2}-1）$
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-2{x_2}-{y_2}+1＜0$．即$\frac{{4-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+\frac{4k}{{1+4{k^2}}}-1＞0$，
整理得20k²-4k-3＜0，解得$k∈（{-\frac{3}{10}，\;\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．