Question

11．已知a，b＞0，且满足a+4b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为n，则二项式（x-$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ的展开式的常数项为（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． -$\frac{6}{7}$
• C． $\frac{21}{16}$
• D． $\frac{22}{31}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质可得n=9，再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+4b}{a}+\frac{a+4b}{b}=5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}≥5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}=9$，当且仅当a=4b时，取等号，
${（x-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}={（x-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^9}$的展开式的通项为${T_{r+1}}=C_9^r{x^{9-r}}{（-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^r}=C_9^r{（-\frac{1}{2}）^r}{x^{9-\frac{3}{2}r}}（r=0，1，2，…，9）$，
令$9-\frac{3}{2}r=0，r=6$，
∴常数项为$C_9^6{（-\frac{1}{2}）^6}=\frac{21}{16}$，
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．