Question

16．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边．若b•cosC+c•cosB=4a•cosB，b=4，则△ABC的面积的最大值为$\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=4sinAcosB，又sinA≠0，从而可求cosB，进而可求sinB，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：根据b•cosC+c•cosB=4a•cosB，可得sinBcosC+sinCcosB=4sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=4sinAcosB，又sinA≠0，
∴$cosB=\frac{1}{4}，sinB=\sqrt{1-{{（\frac{1}{4}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∵${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={a^2}+{c^2}-2ac×\frac{1}{4}$，
∴$16={a^2}+{c^2}-\frac{1}{2}ac≥2ac-\frac{1}{2}ac$，
∴$ac≤\frac{32}{3}$，当且仅当a=c时，等号成立，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×\frac{32}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．