Question

8．如果椭圆$\frac{y^2}{36}$+$\frac{x^2}{9}$=1的某条弦被点（2，4）平分，则这条弦所在的直线方程是2x+y-8=0（请写出一般式方程）

Answer 1

分析 判断点（2，4）在椭圆内，设这条弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k，代入椭圆方程，作差分解，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，可得k=-2，再由点斜式方程，即可得到所求直线的方程．

解答 解：由（2，4）代入椭圆方程，可得$\frac{16}{36}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{8}{9}$＜1，
即点（2，4）在椭圆内，
设这条弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k，
则$\frac{y_1^2}{36}+\frac{x_1^2}{9}=1，\frac{y_2^2}{36}+\frac{x_2^2}{9}=1$，
两式相减可得$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{36}$+$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9}$=0，
则k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又弦中点为（2，4），可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=8，
故k=-2，
故这条弦所在的直线方程y-4=-2（x-2），
整理得2x+y-8=0．
故答案为：2x+y-8=0．

点评 本题考查直线的方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．