Question

20．在平面直角坐标系中，已知A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（x，2），B₂（x，-2），P（x，y），若实数λ使得λ²$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{O{B}_{2}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{2}P}$ （O为坐标原点）．
（Ⅰ） 求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；
（Ⅱ） 当λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且$\frac{1}{2}$＜$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BOF}}$＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题设条件，知（1-λ²）x²+y²=4（1-λ²），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．
（Ⅱ）当λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，点P的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|，由$\frac{1}{2}$＜$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BOF}}$＜1，即$\frac{1}{2}$＜$\frac{|{x}_{1}|}{|{x}_{2}|}$＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k²）x²+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由λ²$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{O{B}_{2}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{2}P}$ 得：λ²（x²-4）=x²-4+y²，
即（1-λ²）x²+y²=4（1-λ²）为点P的轨迹C的方程     …（2分）
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…（3分）
②λ=0时方程为x²+y²=4轨迹为圆，…（4分）
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{4（1-{λ}^{2}）}$=1轨迹为椭圆，…（5分）
④λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4（{λ}^{2}-1）}$=1轨迹为双曲线   …（6分）
（Ⅱ）当λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，点P的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1 …（7分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∴S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
由$\frac{1}{2}$＜$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BOF}}$＜1，即$\frac{1}{2}$＜$\frac{|{x}_{1}|}{|{x}_{2}|}$＜1，由题意可得x₁，x₂同号，∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1…（8分）
由题意得直线EF的斜率存在，设其方程为y=kx+2
代入椭圆方程得：（1+2k²）x²+8kx+4=0
∵△=64k²-16（1+2k²）＞0，∴k²＞$\frac{1}{2}$，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$…（9分）
设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m$，则$（m+1）{x}_{2}=-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，$m{x}_{2}^{2}=\frac{4}{1+2{k}^{2}}$
∴$（m+1）^{2}\frac{4}{m（1+2{k}^{2}）}=\frac{64{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$，∴$\frac{（m+1）^{2}}{m}=\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{（m+1）^{2}}{m}=m+\frac{1}{m}+2$，
∵$\frac{1}{2}＜m＜1$，∴$4＜m+\frac{1}{m}+2＜\frac{9}{2}$
即$4＜\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}＜\frac{9}{2}$，∴$\frac{1}{2}＜{k}^{2}＜\frac{9}{14}$，
∴k∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{14}}{14}$）∪（$-\frac{3\sqrt{14}}{14}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）为所求…（12分）

点评 本题考查曲线类型的判断，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．