Question

10．已知数列{b_n}是首项为-$\frac{3}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，数列{a_n}满足a_n+1+b_n=n-1，记S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，若数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$}为等差数列，则λ=2．

Answer 1

分析 由等比数列写出b_n，T_n的公式，再结合a_n+1+b_n=n-1写出S_n的公式，从而求得$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$的表达式，从而解得．

解答 解：∵数列{b_n}是首项为-$\frac{3}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴b_n=-$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{3}{{2}^{n+1}}$，
T_n=$\frac{-\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
又∵a_n+1+b_n=n-1，
∴a_n+1=-b_n+n-1
=$\frac{3}{{2}^{n+1}}$+n-1，
∴a_n=$\frac{3}{{2}^{n}}$+n-2，
S_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）+$\frac{n（n-1）}{2}$-2n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$
=$\frac{1}{n}$[3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）+$\frac{n（n-1）}{2}$-2n-λ$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）]
=$\frac{1}{n}$$\frac{3}{2}$（2-λ）（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）+$\frac{n-1}{2}$-2，
∵数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$+λ•$\frac{{T}_{n}}{n}$}为等差数列，
∴2-λ=0，
故λ=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了转化思想的应用．