Question

15．已知函数f（x）=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}+4x+3}}$-t，g（x）=x+1+$\frac{4}{x+1}$+t，若?x₁∈R，?x₂∈（-∞，-1），使得f（x₁）≤g（x₂），则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （0，2]
• C． （-∞，-2]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由基本不等式可判断出x+1+$\frac{4}{x+1}$≤-4，从而可得g（x₂）_max=-4+t，而配方法可得f（x）=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}+4x+3}}$-t≤2-t，从而化恒成立问题为最值问题．

解答 解：当x∈（-∞，-1）时，x+1∈（-∞，0），
x+1+$\frac{4}{x+1}$
=-（-（x+1）+（-$\frac{4}{x+1}$））
≤-4，
（当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$，即x=-3时，等号成立），
故g（x₂）_max=-4+t，
f（x）=${（\frac{1}{2}）^{{x^2}+4x+3}}$-t
=$（\frac{1}{2}）^{（x+2）^{2}-1}$-t≤2-t，
∵?x₁∈R，?x₂∈（-∞，-1），使得f（x₁）≤g（x₂），
∴2-t≤-4+t，
解得，t≥3，
故选：D．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用．