Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点A（4，2$\sqrt{2}$）在椭圆上，且AF₂与x轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₂作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）点F₂（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x²+2y²=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S_△OBC=$\frac{1}{2}$|OF₂|•|y₁-y₂|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由A（4，2$\sqrt{2}$）在椭圆上，且AF₂与x轴垂直，
可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，又a²-b²=16，
解得a=4$\sqrt{2}$，b=4，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）点F₂（4，0），可设直线BC：x=ty+4，
代入椭圆方程x²+2y²=32，可得（2+t²）y²+8ty-16=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可得△=64t²+64（2+t²）＞0
y₁+y₂=-$\frac{8t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{16}{2+{t}^{2}}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64{t}^{2}}{（2+{t}^{2}）^{2}}+\frac{64}{2+{t}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{2（1+{t}^{2}）}}{2+{t}^{2}}$，
S_△OBC=$\frac{1}{2}$|OF₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{8\sqrt{2（1+{t}^{2}）}}{2+{t}^{2}}$=16$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{t}^{2}}}{2+{t}^{2}}$
=16$\sqrt{2}$•$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}}$≤16$\sqrt{2}$•$\frac{1}{2}$=8$\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，即t=0时，△COB面积的最大值为8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．