Question

10．函数f（x）=sin2x-cos（2x+$\frac{π}{6}$）的值域为[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]，最小正周期为π，单调递减区间是[$\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．

Answer 1

分析 展开两角和的余弦，再利用辅助角公式化积，从而求得函数的值域和周期，再由相位在正弦函数的减区间内求得x的范围得函数的单调减区间．

解答 解：∵f（x）=sin2x-cos（2x+$\frac{π}{6}$）=sin2x-cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$
=sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$+$\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{3}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=$\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴f（x）∈[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]；T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
故答案为：[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]，π，[$\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了正弦型函数的图象和性质，是中档题．