Question

2．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．
（1）求证：DG⊥EF；
（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；
（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；
（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{GA}$和平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{n}$＞|；
（3）设P（0，0，k）（0≤k≤$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FQ}$=λ$\overrightarrow{FC}$（0≤λ≤1），求出$\overrightarrow{PQ}$的坐标，令$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{GD}$=0得出k与λ的关系，得出|$\overrightarrow{PQ}$|关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．

解答 （1）证明：∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，
∴EF⊥DF，EF⊥AF，
又DF?平面ADF，AF?平面ADF，DF∩AF=F，
∴EF⊥平面ADF，
∵DG?平面ADF，
∴DG⊥EF．
（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．
又EF⊥DG，EF，AF?平面ABEF，AF∩EF=F，
∴DG⊥平面ABEF．
设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，
以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，$\sqrt{3}$），F（-1，0，0）．
∴$\overrightarrow{GA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（-2，-4，0）．
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{-2x-4y=0}\end{array}\right.$，令z=2得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，2）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GA}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{19}$，|$\overrightarrow{GA}$|=1．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{GA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{GA}|}$=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．
∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．
（3）设P（0，0，k）（0≤k≤$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FQ}$=λ$\overrightarrow{FC}$（0≤λ≤1），
则$\overrightarrow{FP}$=（1，0，k），$\overrightarrow{FC}$=（1，4，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{FQ}$=（λ，4λ，$\sqrt{3}$λ），
∴$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{FQ}-\overrightarrow{FP}$=（λ-1，4λ，$\sqrt{3}$λ-k）．
∵DG⊥平面ABEF，∴$\overrightarrow{GD}$=（0，0，$\sqrt{3}$）为平面ABEF的一个法向量．
∵PQ∥平面ABEF，∴$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{GD}$，∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{GD}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}λ-k$）=0，
∴k=$\sqrt{3}λ$．
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（λ-1）^{2}+16{λ}^{2}+（\sqrt{3}λ-k）^{2}}$=$\sqrt{17{λ}^{2}-2λ+1}$=$\sqrt{17（λ-\frac{1}{17}）^{2}+\frac{16}{17}}$．
∴当λ=$\frac{1}{17}$时，|$\overrightarrow{PQ}$|取得最小值$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量在几何中的应用，属于中档题．