Question

17．△ABC中，若sinC=（${\sqrt{3}$cosA+sinA）cosB，则（　　）

• A． B=$\frac{π}{3}$
• B． 2b=a+c
• C． △ABC是直角三角形
• D． a²=b²+c²或2B=A+C

Answer 1

分析 根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案．

解答 解：△ABC中，∵C=π-（A+B），∴sinC=sin（A+B），
代入sinC=（${\sqrt{3}$cosA+sinA）cosB得，
sin（A+B）=（${\sqrt{3}$cosA+sinA）cosB，
化简可得，cosAsinB=${\sqrt{3}$cosAcosB，①
∵0＜A＜π，∴分两种情况讨论，
（1）当cosA≠0时，①化为sinB=${\sqrt{3}$cosB，则tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，则A+C=π-B=$\frac{2π}{3}$=2B；
（2）当cosA=0时，A=$\frac{π}{2}$，则a²=b²+c²，
综上可得，a²=b²+c²或2B=A+C，
故选：D．

点评 本题考查正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题．