Question

12．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}$=1有共同的焦点，抛物线x²=4y的焦点为椭圆C的一个顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点$N（\frac{x_0}{a}，\frac{y_0}{b}）$称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q．
（i）若直线l的方程为y=x，求P，Q两点的坐标；
（ii）若以PQ为直径的圆经过坐标原点O，那么△AOB的面积是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的焦点，抛物线的焦点，可得b=1，c=$\sqrt{3}$，求得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）（i）将直线y=x代入椭圆方程，可得A，B的坐标，由a=2，b=1，可得P，Q的坐标；
（ii）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意可得$P（\frac{x_1}{2}，{y_1}），Q（\frac{x_2}{2}，{y_2}）$．讨论①当直线AB的斜率不存在时，②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m．代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，以及直径所对圆周角为直角，可得向量的数量积为0，化简整理，即可AOB的面积为定值1．

解答 解：（1）由双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$的焦点坐标分别为$（-\sqrt{3}，0），（\sqrt{3}，0）$，
抛物线x²=4y的焦点坐标为（0，1）．
故椭圆C的焦点坐标分别为$（-\sqrt{3}，0），（\sqrt{3}，0）$，
其中一个顶点的坐标为（0，1），
故$c=\sqrt{3}，b=1，a=2$，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）（i）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=x\end{array}\right.$得${x^2}=\frac{4}{5}$，解得$x=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
所以$A（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}），B（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$，
或$A（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}），B（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$．
因为a=2，b=1，
所以$P（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}），Q（-\frac{{\sqrt{5}}}{5}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$
或$P（-\frac{{\sqrt{5}}}{5}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}），Q（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$．
（ii）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由题意可得$P（\frac{x_1}{2}，{y_1}），Q（\frac{x_2}{2}，{y_2}）$．
①当直线AB的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由以PQ为直径的圆经过坐标原点可得$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，
即$\frac{x_1}{2}×\frac{x_2}{2}+{y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{4}-y_1^2=0$，解得$x_1^2=4y_1^2$．
又点A（x₁，y₁）在椭圆上，所以$\frac{4y_1^2}{4}+y_1^2=1$，
解得$|{y_1}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，|{x_1}|=\sqrt{2}$，
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{x_1}|×|{y_1}-{y_2}|=1$．
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得，（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）=16（4k²+1-m²）＞0，
由根与系数的关系可得${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
由以PQ为直径的圆经过坐标原点可得$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，即$\frac{x_1}{2}×\frac{x_2}{2}+{y_1}{y_2}=0$，
即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$．
故$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）$=$\frac{{1+4{k^2}}}{4}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=$\frac{{1+4{k^2}}}{4}×\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}+km×\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}+{m^2}$=$2{m^2}-1-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{4{k^2}+1}}$=0，
整理得（2m²-1）（4k²+1）-8k²m²=0，即2m²-4k²-1=0，
所以4k²+1=2m²．
而$|{x_1}-{x_2}{|^2}={（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}={（\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}）^2}-4×\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$
=$\frac{16}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}（4{k^2}+1-{m^2}）$，
故$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+1}}\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}$，
而点O到直线AB的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|×d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+1}}\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}×\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
=$\frac{2|m|}{{4{k^2}+1}}\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}=\frac{2|m|}{{2{m^2}}}\sqrt{2{m^2}-{m^2}}=1$．
综上可知，△AOB的面积为定值1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用双曲线和抛物线的焦点，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，弦长公式和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．