Question

3．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（-$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），点P是椭圆C上的动点，直线PA、PB的斜率为k₁，k₂，则k₁k₂=（　　）

• A． -4
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 4
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设P（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到定值．

解答 解：设P（m，n），可得m²+4n²=4，
即有m²=4-4n²，
又k₁=$\frac{n-\frac{1}{2}}{m-\sqrt{3}}$，k₂=$\frac{n+\frac{1}{2}}{m+\sqrt{3}}$，
则k₁k₂=$\frac{n-\frac{1}{2}}{m-\sqrt{3}}$•$\frac{n+\frac{1}{2}}{m+\sqrt{3}}$=$\frac{{n}^{2}-\frac{1}{4}}{{m}^{2}-3}$
=$\frac{{n}^{2}-\frac{1}{4}}{1-4{n}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆方程的运用，注意点满足椭圆方程，考查直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于基础题．