Question

18．正△ABC中，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为-1，且$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 先根据正△ABC中，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为-1，得到正△ABC的边长为2，再根据向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算求出答案即可．

解答 解：∵正△ABC中，$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为-1，
∴正△ABC的边长为2，
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}×{2}^{2}$-2×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了向量加减的几何意义，向量数量积的计算，直接利用定义不易求解，这里利用平面向量基本定理，进行转化计算．