Question

13．已知直线l过点P（2，1），Q（1，-1），则该直线的方程为2x-y-3=0；过点P与l垂直的直线m与圆x²+y²=R²（R＞0）相交所得弦长为$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，则该圆的面积为5π．

Answer 1

分析 由两点式写出直线方程，化为一般式得答案；求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求得半径，则圆的面积可求．

解答 解：由直线方程的两点式得l：$\frac{y+1}{1+1}=\frac{x-1}{2-1}$，化为一般式，2x-y-3=0；
直线l的斜率为2，则过点P与l垂直的直线m的斜率为$-\frac{1}{2}$，直线m的方程为y-1=$-\frac{1}{2}（x-2）$，
整理得：x+2y-4=0．
圆x²+y²=R²的圆心到m的距离d=$\frac{|-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴R²=$（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}=5$．
则圆的面积为πR²=5π．
故答案为：2x-y-3=0；5π．

点评 本题考查两点式求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，是中档题．