Question

10．椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B．已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点M（-2a，0）的直线交椭圆Γ于P、Q（不同于左、右顶点）两点，且$\frac{1}{{|P{F_1}|}}+\frac{1}{{|Q{F_1}|}}=\frac{1}{12}$．当△PQF₁面积最大时，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆右焦点F₂的坐标为（c，0），A（a，0），B（0，b），运用两点的距离公式和a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；
（II）由椭圆的离心率可得椭圆方程为3x²+4y²=3a²．设直线PQ的方程为x=my-2a，代入椭圆方程，可得y的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△PQF₁面积，运用椭圆的焦半径公式，结合基本不等式可得最大值，以及直线PQ的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆右焦点F₂的坐标为（c，0），A（a，0），B（0，b），
由$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，可得a²+b²=7c²．
又b²=a²-c²，则$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{4}$，
所以椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$；
（II）椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$，可得c²=$\frac{1}{4}$a²，即${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$，
则椭圆方程可写为3x²+4y²=3a²．
设直线PQ的方程为x=my-2a，
联立直线和椭圆方程，消去x得（3m²+4）y²-12may+9a²=0．
因而${y_1}+{y_2}=\frac{12ma}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{9{a^2}}}{{3{m^2}+4}}$．
依题意，该方程的判别式△＞0，即m²-4＞0，
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
由焦半径公式$|P{F_1}|=\frac{{|m{y_1}|}}{2}\;，\;\;|Q{F_1}|=\frac{{|m{y_2}|}}{2}$．
因此$\frac{1}{{|P{F_1}|}}+\frac{1}{{|Q{F_1}|}}=\frac{1}{12}$可化为$|\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}|=\frac{|m|}{24}$．①
将${y_1}+{y_2}=\frac{12ma}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{9{a^2}}}{{3{m^2}+4}}$代入①式得，$\frac{|12ma|}{{9{a^2}}}=\frac{|m|}{24}$，解得a=32．
所以${S_{△PQ{F_1}}}=\frac{1}{2}\;•\;\frac{3a}{2}|{y_1}-{y_2}|=\frac{{9{a^2}}}{2}\;•\;\frac{{\sqrt{{m^2}-4}}}{{3{m^2}+4}}$．②
令$t=\sqrt{{m^2}-4}$（t＞0），
则②式可化为${S_{△PQ{F_1}}}=\frac{{9{a^2}}}{2}\;•\;\frac{t}{{3{t^2}+16}}\;≤\;\frac{{9{a^2}}}{2}\;•\;\frac{t}{{2×4×\sqrt{3}t}}=192\sqrt{3}$．
当且仅当${t^2}=\frac{16}{3}$时，“=”成立，此时$m=±\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$．
所以直线PQ的方程为$x=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}y-64$或$x=-\frac{{2\sqrt{21}}}{3}y-64$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两点的距离公式和基本量的关系，考查直线的方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及焦半径公式和基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．