Question

8．设函数f（x）=|x+$\frac{2}{a}}$|+|x-a|（a≠0）．
（1）证明：f（x）≥2$\sqrt{2}$；
（2）如果a＞0且f（3）＜6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|a|+|$\frac{2}{a}$|，再利用基本不等式证得|a|+|$\frac{2}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，从而证得结论．
（2）f（3）＜6，即|3+$\frac{2}{a}$|+|3-a|＜6，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

解答 （1）证明：∵f（x）=|x+$\frac{2}{a}$|+|x-a|≥|（x+$\frac{2}{a}$）-（x-a）|=|a+$\frac{2}{a}$|=|a|+|$\frac{2}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，
故f（x）≥2$\sqrt{2}$成立．
（2）解：f（3）＜6，即|3+$\frac{2}{a}$|+|3-a|＜6，
当a＞$\frac{2}{3}$时，可得3+$\frac{2}{a}$+|a-3|＜6，
即|a-3|＜3-$\frac{2}{a}$，即$\frac{2}{a}$-3＜a-3＜3-$\frac{2}{a}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{2}{3}}\\{a-\frac{2}{a}＞0}\\{a+\frac{2}{a}＜6}\end{array}\right.$，求得$\sqrt{2}$＜a＜3+$\sqrt{7}$．
a=$\frac{2}{3}$ 时，可得|3+3|+|3-$\frac{2}{3}$|＜6不成立，故a≠$\frac{2}{3}$．
0＜a＜$\frac{2}{3}$时，可得|a-3|＜3-$\frac{2}{a}$不成立，即a∈∅．
综上可得，$\sqrt{2}$＜a＜3+$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．