Question

9．设△ABC的内角，A，B，C对边的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c．
（1）求$\frac{tanA}{tanB}$的值；
（2）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin（A-B）=$\frac{1}{2}$sin（A+B），再利用两角和差的三角公式、同角三角的基本关系，求得 $\frac{tanA}{tanB}$ 的值．
（2）利用两角和差的正切公式，基本不等式，求得tan（A-B）的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$sinC，
即sin（A-B）=$\frac{1}{2}$sin（A+B），即 sinAcosB-sinBcosA=$\frac{1}{2}$（sinAcosB+sinBcosA ），
∴sinAcosB=3sinBcosA，∴$\frac{tanA}{tanB}$=3．
（2）∵tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{2tanB}{1+{3tan}^{2}B}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则tan（A-B）的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时，$\frac{1}{tanB}$=3tanB，即 tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理、诱导公式，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题．