Question

13．如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ） 求证：AO⊥BE；
（Ⅱ） 求二面角F-AE-B的余弦值；
（Ⅲ） 若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；
（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$，则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞与二面角的余弦值相等或相反．
（III）令|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CA}$＞|=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，列方程解出a．

解答 证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB，又BE?平面EFCB，
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，
以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），E（a，0，0），F（-a，0，0），$A（0，\sqrt{3}a，0）$，$B（2，0，\sqrt{3}（2-a））$，$C（-2，0，\sqrt{3}（2-a））$，
∴$\overrightarrow{BE}=（a-2，0，\sqrt{3}（a-2））$，$\overrightarrow{AE}$=（a，-$\sqrt{3}$a，0），
设平面AEB的一个法向量$\overrightarrow m=（x．y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}ax-\sqrt{3}ay=0\\（a-2）x+\sqrt{3}（a-2）z=0\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-1）．
平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow n=（0，0，1）$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-1，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=1，
∴$cos＜\overrightarrow m\;，\;\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由二面角F-AE-B为钝二面角，
∴二面角F-AE-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅲ） $\overrightarrow{CA}=（2，\sqrt{3}a，\sqrt{3}（a-2））$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{m}$=4$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{4+3{a}^{2}+3（a-2）^{2}}$，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}\sqrt{4+3{a^2}+3{{（a-2）}^2}}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
∴6a²-12a+16=10，
解得a=1．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．