Question

1．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+y²=1的左、右焦点．
（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=-$\frac{5}{4}$，求点P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）因为椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
知a=2，b=1，$c=\sqrt{3}$，
可得${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，
设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=（-\sqrt{3}-x，-y）•（\sqrt{3}-x，-y）={x^2}+{y^2}-3=-\frac{5}{4}$，
又$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=\frac{7}{4}}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=1}\\{{y^2}=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，即为$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$；
（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}+16kx+12=0$，
由△=（16k）²-4（1+4k²）•12＞0，得${k^2}＞\frac{3}{4}$．
${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$．
又∠AOB为锐角，即为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
又$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4=（1+{k^2}）\frac{12}{{1+4{k^2}}}+2k（-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}）+4=\frac{{4（4-{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}＞0$，
可得k²＜4．又${k^2}＞\frac{3}{4}$，即为$\frac{3}{4}＜{k^2}＜4$，
解得$k∈（-2，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2）$．

点评 本题考查椭圆方程的运用，向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及角为锐角的条件：数量积大于0，考查解方程和解不等式的运算能力，属于中档题．