Question

18．已知椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆C上点A满足AF₂⊥F₁F₂，若点P是椭圆C上的动点，则$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}A}$的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得点A，F₁，F₂的坐标，再利用数量积运算法则和点P的纵坐标的取值范围即可得出最大值．

解答 解：由椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$可得a²=4，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
可得F₁（-1，0），F₂（1，0），
由AF₂⊥F₁F₂，令x=1，可得y=±$\sqrt{3}$•$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=±$\frac{3}{2}$，可设A（1，$\frac{3}{2}$），
设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
又-$\sqrt{3}$≤n≤$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（m+1，n）•（0，$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$n≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．