Question

8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、B、C对应的边长．若cosA+sinA-$\frac{2}{cosB+sinB}$=0，则$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos（A-B）+sin（A+B）=2，由cos（A-B），sin（A+B）的范围，解得cos（A-B）=1，sin（A+B）=1，解得A=B=45°，C=90°，利用正弦定理化简可得$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$，即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵cosA+sinA-$\frac{2}{cosB+sinB}$=0，
∴（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，
∴cosAcosB+sinAsinB+sinAcosB+sinBcosA=2，
∴cos（A-B）+sin（A+B）=2，
∵cos（A-B）∈[-1，1]；sin（A+B）∈[-1，1]，
∴当二者和为2时，只能是二者均为1，
即cos（A-B）=1，sin（A+B）=1，
∵A、B、C为△ABC内角，
∴A-B=0，A+B=90°，
∴解得A=B=45°，
∴C=180°-45°-45°=90°，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．