Question

16．已知命题p：函数f（x）=log₂（x²-2ax+16）存在最小值；命题q：关于x的方程2x²-（2a-2）x+3a-7=0有实数根．若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是（-4，3]．

Answer 1

分析 利用三个“二次”与判别式的关系即可得出．

解答 解：命题p：函数f（x）=log₂（x²-2ax+16）存在最小值，∴x²-2ax+16＞0对于x∈R成立，∴△=4a²-16＜0，解得-4＜a＜4；
命题q：关于x的方程2x²-（2a-2）x+3a-7=0有实数根，∴△=（2a-2）²-8（3a-7）≥0，化为：a²-8a+15≥0，解得a≤3或a≥5．
若命题p∧q为真命题，则p与q都为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{-4＜a＜4}\\{a≤3或a≥5}\end{array}\right.$，解得-4＜a≤3．
∴实数a的取值范围是（-4，3]．
故答案为：（-4，3]．

点评 本题考查了函数的性质、三个“二次”与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．