Question

6．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若四边形OACB是平行四边形，它的面积用S_θ表示，求S_θ+1+cosθ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函数公式计算tan$\frac{θ}{2}$，代入和角的正切公式计算；
（2）利用三角形的面积公式求出S_θ=sinθ，使用辅助角公式得出S_θ+1+cosθ关于θ的函数，根据θ的范围和正弦函数的性质求出最值．

解答 解：（1）∵0＜θ＜π，∴0＜$\frac{θ}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∵tanθ=$\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=-$\frac{4}{3}$，
又tanθ=$\frac{2tan\frac{θ}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}$=-$\frac{4}{3}$．
∴tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{θ}{2}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{θ}{2}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}}$=3．
（2）连结AB，则S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OB•sinθ$=$\frac{1}{2}sinθ$，
∴S_θ=2S_△AOB=sinθ，
∴S_θ+1+cosθ=1+sinθ+cosθ=1+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∵0＜θ＜π，∴$\frac{π}{4}＜$$θ+\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$．
∴当$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，1+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）取得最大值1+$\sqrt{2}$．
当$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，1+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）取得最小值0．
∴S_θ+1+cosθ的取值范围是（0，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．