Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N⁺）．
（1）若b_n=a_2n-1-$\frac{1}{3}$，求证：数列{b_n}是等比数列并求其通项公式；
（2）求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义和数列的递推公式得到∴{b_n}是公比为4首项为$\frac{2}{3}$的等比数列，问题得以解决，
（2）分n偶偶数和奇数两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}$=$\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{3}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{3}}}$，
又∵a_2n+1=2a_2n+1，a_2n=2a_2n-1-1，
∴a_2n+1=4a_2n-1-1，
∴a_2n+1-$\frac{1}{3}$=4（a_2n-1-$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{3}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{3}}}$=4，
∴{b_n}是公比为4的等比数列，
∵a₁-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴b_n的首项为$\frac{2}{3}$，
∴b_n=$\frac{2}{3}•{4^{n-1}}$（n∈N⁺）；
（2）∵a_2n-1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}•{4^{n-1}}$，
∴a_2n-1=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}•{2^{2n-1}}$=$\frac{1}{3}•（{2^{2n-1}}+1）$，
∴a_2n=2a_2n-1-1=$\frac{1}{3}•{2^{2n}}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}•（{2^{2n}}-1）$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}（{2^n}+1）（n为奇数）\\ \frac{1}{3}（{2^n}-1）（n为偶数）\end{array}\right.$

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．