Question

1．设a为实数，给出命题p：函数f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的减函数，命题q：关于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^|x-1|≥a的解集为∅．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若q为真命题，求a的取值范围；
（3）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1），（2）根据指数函数的性质求出a的范围即可；（3）通过讨论p，q的真假，求出a的范围即可．

解答 解：（1）命题p：“函数f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的减函数”为真命题，
得0＜a-$\frac{3}{2}$＜1，∴$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{5}{2}$；
（2）由q为真命题，则由0＜$（\frac{1}{2}）$^|x-1|≤1，得a＞1；
（3）∵p且q为假，p或q为真，∴p、q中一真一假，
若p真q假，则a不存在；
若p假q真，则1＜a≤$\frac{3}{2}$或a≥$\frac{5}{2}$；
综上，a的取值范围为：1＜a≤$\frac{3}{2}$或a≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．