Question

已知函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，研究函数f（x）的基本性质并给出证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，由分母不为0，和指数函数的值域，运用奇偶性的定义和单调性的定义，注意解题步骤，即可得到．

解答： 解：函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，
则由e^2x-1≠0，解得，x≠0，定义域为{x|x≠0}，
由e^2x=

1+y

y-1

＞0，解得，y＞1或y＜-1．即值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
由于f（-x）=

e-2x+1

e-2x-1

=

1+e2x

1-e2x

=-f（x），则f（x）为奇函数；
由于令0＜m＜n，则f（m）-f（n）=1+

2

e2m-1

-（1+

2

e2n-1

）
=

2(e2n-e2m)

(e2m-1)(e2n-1)

，由于0＜m＜n，则e^2m-1＞0，e²ⁿ-1＞0，e²ⁿ＞e^2m，
则有f（m）-f（n）＞0，f（x）在x＞0上递减，
再由奇函数，可得f（x）在x＜0上递减，
故f（x）在（0，+∞），（-∞，0）递减．

点评：本题考查函数的定义域和值域、单调性和奇偶性的判断和证明，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．