Question

6．已知：cos（α+$\frac{π}{4}}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{3π}{2}$，求cos（2α+$\frac{π}{4}}$）．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，利用两角和差的三角公式求得sinα 和cosα的值，利用二倍角公式求得sin2α和cos2α的值，从而求得cos（2α+$\frac{π}{4}}$）的值．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{4}}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴α+$\frac{π}{4}}$∈（$\frac{3π}{2}$，$\frac{7π}{4}$），sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
cosα=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{7}{25}$，cos2α=2cos²α-1=-$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{4}}$）=cos2αcos$\frac{π}{4}$-sin2αsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{24}{25}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．