Question

8．设命题p：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”，命题q：“不等式ax²-ax+1＞0对?x∈R恒成立”．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：可得△≥0，解得a范围．对于命题q：a=0时，不等式化为：1＞0，满足条件；a≠0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．由p∧q为假，p∨q为真，可得：命题p和q一个为真，一个为假．

解答 解：对于命题p：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2，或a≥1．
对于命题q：“不等式ax²-ax+1＞0对?x∈R恒成立”，a=0时，不等式化为：1＞0，满足条件；a≠0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜4．综上可得：0≤a＜4．
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴命题p和q一个为真，一个为假．
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥1}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$，解得a≤-2或a≥4；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$，解得0≤a＜1．
综上所述：a的取值范围是（-∞，-2]∪[0，1）∪[4，+∞）．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．