Question

若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：
（1）在D内的单调函数；
（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0且a≠1），则当f （x）为可等射函数时，a的取值范围是

（0，1）∪（1，2）

．

Answer 1

分析：求导函数，判断函数为单调增函数，根据可等射函数的定义，可得m，n是方程

ax+a-3

lna

= x的两个根，构建函数g（x）=

ax+a-3

lna

- x，则函数g（x）=

ax+a-3

lna

- x有两个零点，分类讨论，即可确定a的取值范围．

解答：解：求导函数，可得f′（x）=a^x＞0，故函数为单调增函数
∵存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．
∴f（m）=m，f（n）=n
∴m，n是方程

ax+a-3

lna

= x的两个根
构建函数g（x）=

ax+a-3

lna

- x，则函数g（x）=

ax+a-3

lna

- x有两个零点，g′（x）=a^x-1
①0＜a＜1时，函数的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）
∵g（0）＞0，∴函数有两个零点，故满足题意；
②a＞1时，函数的单调减区间为（-∞，0），单调增区间为（0，+∞）
要使函数有两个零点，则g（0）＜0，∴

1+a-3

lna

＜ 0，∴a＜2
∴1＜a＜2
综上可知，a的取值范围是（0，1）∪（1，2）
故答案为：（0，1）∪（1，2）．

点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键．