Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上运动，直线PA与y轴交于点D，则k_PA²+2k_BD的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），设点P（2cosα，

3

sinα），D（0，t），运用直线的斜率公式，再令t=

3 sinα

1+cosα

，运用二倍角公式，可得t的范围，则k_PA²+2k_BD=

1

4

t2-t=

1

4

（t-2）²-1，由t的范围，即可得到所求范围．

解答： 解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），
设点P（2cosα，

3

sinα），D（0，t），（t≥0）
则k_PA=

3 sinα

2(cosα+1)

∈[0，

3

2

]，
由P，A，D共线，可得

t

2

=

3 sinα

2(cosα+1)

，解得，t=

3 sinα

1+cosα

∈[0，

3

]，
即有D（0，

3 sinα

1+cosα

），k_BD=

3 sinα

-2(1+cosα)

，
则k_PA²+2k_BD=

1

4

t2-t=

1

4

（t-2）²-1，
则[0，

3

]为递减区间，
t=0时，取得最大值0，t=

3

时，取得最小值

3

4

-

3

．
所求取值范围是[

3

4

-

3

，0]
故答案为：[

3

4

-

3

，0]．

点评：本题考查椭圆的参数方程及应用，考查直线的斜率公式的运用，考查二次函数的最值，属于中档题．