Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PC=2，PC⊥BC，异面直线AB与PC所成的角为60°．
（1）求PA的长；
（2）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点O，连接PO，OA，结合已知和线面垂直的判定定理和性质定理，可证得：PO⊥平面ABCD，进而可得PO⊥OA，进而由勾股定理可得PA的长；
（2）由（1）可得PO为三棱锥P-BCD的高，求出底面△BCD的面积，代入棱锥体积公式，可得三棱锥P-BCD的体积．

解答： 解：（1）取CD的中点O，连接PO，OA，如下图所示：

∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PC=2，
异面直线AB与PC所成的角为60°
∴∠PCD=60°
故△PCD为等边三角形，
∴PO⊥CD，
∵PC⊥BC，CD⊥BC，PC∩CD=C，PC，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
又∵PO?平面PCD，
∴BC⊥PO，
又由CD∩BC=C，CD，BC?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又∵OA?平面ABCD，
∴PO⊥OA，
∵PO=

3

，OA=

22+12

=

5

，
故PA=

PO2+OA2

=2

2

；
（2）由（1）中PO⊥平面ABCD，
可得PO为三棱锥P-BCD的高，
由底面△BCD的面积为：

1

2

×2×2=2，
故三棱锥P-BCD的体积V=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定定理，难度不大，属于基础题．