Question

11．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（3）=0，求出a的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
由f（x）在x=3处取得极值，
得f′（3）=54-18（a+1）+6a=0，
解得：a=3，
故f（x）=2x³-12x²+18x+8；
（2）由（1）f′（x）=6x²-24x+18=6（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
故f（x）在（-∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增；
故f（x）_max=16，f（x）_min=-100．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．