Question

3．直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=2$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）设与直线x+y-4=0平行的直线方程x+y+t=0与椭圆相切，联立化为：4x²+6tx+3t²-3=0，令△=0，解得t，进而得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=2$\sqrt{2}$，化为：x+y-4=0．
（2）设与直线x+y-4=0平行的直线方程x+y+t=0与椭圆相切，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y+t=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：4x²+6tx+3t²-3=0，
△=36t²-4（3t²-3）=0，解得t=±2，t=-2时，|PQ|取得最小值=$\frac{|-4-（-2）|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相切与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．