Question

8．设数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊）
（1）求a₁，a₂；
（2）若b_n=n（2-n）（a_n-1），求b_n的最大项，并写出取最大项的项数．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊），可得a₁=1-a₁，a₁+a₂=2-a₂，解得a₁，a₂．
（2）由数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊），n≥2时，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n-1-a_n-1，相减可得：a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1），利用等比数列的通项公式即可得出a_n-1，可得b_n=n（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，作差b_n+1-b_n即可得出b_n的最大项．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊）
∴a₁=1-a₁，a₁+a₂=2-a₂，
解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{3}{4}$．
（2）由数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊），
n≥2时，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n-1-a_n-1，
相减可得：a_n=1-a_n+a_n-1，
可得：a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为：$-\frac{1}{2}$．
∴a_n-1=$-（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=n（2-n）（a_n-1）=n（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
b_n+1-b_n=（n+1）（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$-n（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{-（{n}^{2}-4n+1）}{{2}^{n+1}}$＞0，解得$2-\sqrt{3}$＜n＜2+$\sqrt{3}$．
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…＞b_n．
∴n=4时，b_n取得最大项，b₄=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、不等式的性质、方程的解法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．