Question

18．已知抛物线 C：y=$\frac{1}{2}$x²，过不在y轴上的点P作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．直线AB与y轴交于点 M，直线PO（O为坐标原点）与AB交于点N，且PN⊥AB．
（Ⅰ）证明M是一个定点；
（Ⅱ）求$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线PA及PB的方程，将P分别代入方程可得：直线AB的方程为y=xx₀-y₀，由直线PO的斜率为$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，由0P⊥AB，则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×x₀=-1，即可求得y₀=-1，则直线AB的方程y=xx₀+1，AB与y轴的焦点M是定点（0，1）；
（Ⅱ）由点到直线的距离公式及两点之间的距离公式，求得$\frac{|PN|}{|MN|}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}-1}}$，利用基本不等式的性质，即可求得$\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}$最大值，即可求得$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）证明：设P（x₀，y₀），x₀≠0，显然y₀≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{2}$x²，求导y′=x，则直线PA的斜率k=x₁，直线PA的方程：y-y₁=x₁（x-x₁），
则y-y₁=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁2，即y+y₁=x₁x，
同理直线PB的方程：y+y₂=x₂x，
∴由直线PA，PB过切点P，则y₀+y₁=x₁x₀，y₀+y₂=x₂x₀，
则A和B的坐标满足y₀+y=xx₀，
∴直线AB的方程为y=xx₀-y₀，则直线PO的斜率为$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，直线AB的斜率为x₀，
由PN⊥AB，即0P⊥AB，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×x₀=-1，则y₀=-1，
∴直线AB的方程y=xx₀+1，
∴AB与y轴的焦点M是定点（0，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）P（x₀，-1），则丨PN丨为P到直线AB：xx₀-y+1=0的距离，
丨PN丨=$\frac{丨{x}_{0}^{2}+2丨}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+1}}$，
丨PM丨=$\sqrt{（{x}_{0}-0）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+4}$，
由丨MN丨=$\sqrt{丨PM{丨}^{2}-丨PN{丨}^{2}}$，
∴$\frac{|PN|}{|MN|}$=$\frac{丨PN丨}{\sqrt{丨PM{丨}^{2}-丨PN{丨}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}-1}}$，
由$\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}$=$\frac{（{x}_{0}^{2}+4）^{2}（{x}_{0}^{2}+1）}{（{x}_{0}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{4}+5{x}_{0}^{2}+4}{{x}_{0}^{4}+4{x}_{0}^{2}+4}$=1+$\frac{{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{4}+4{x}_{0}^{2}+4}$，
=1+$\frac{1}{{x}_{0}^{2}+\frac{4}{{x}_{0}^{2}}+4}$≤1+$\frac{1}{4+4}$=$\frac{9}{8}$，当且仅当x₀²=$\frac{4}{{x}_{0}^{2}}$，即x₀=±$\sqrt{2}$时，取等号，
则$\frac{|PN|}{|MN|}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{丨PM{丨}^{2}}{丨PN{丨}^{2}}-1}}$≥$\sqrt{\frac{1}{\frac{9}{8}-1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．