Question

12．设函数f（x）=$\sqrt{3}sinωx-2{cos^2}\frac{ω}{2}$x+1（ω＞0）直线y=2与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点$（\frac{B}{4}，0）$是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=2$\sqrt{3}$，a+c=6，求△ABC面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由题意和正弦函数的图象与性质求出周期，由三角函数的周期公式求出ω的值；
（2）由正弦函数图象的对称中心和题意列出方程，由内角的范围求出角B，根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2cos²$\frac{ωx}{2}$+1=$\sqrt{3}$sinωx-（1+cosωx）+1
=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），…（2分）
∵直线y=2与函数f（x）的图象相邻两交点的距离为π，
∴周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，…（4分）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（6分）
（2）∵点$（\frac{B}{4}，0）$是函数y=f（x）图象的一个对称中心，
∴2×$\frac{B}{4}$-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），则B=2kπ+$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
由0＜B＜π，得B=$\frac{π}{3}$，…（8分）
∵b=2$\sqrt{3}$，a+c=6，
∴由余弦定理可得：12=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=36-3ac，解得：ac=8，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了二倍角余弦公式及变形，余弦定理，三角形面积公式，两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．