Question

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知（2b-c）cosA-acosC=0．
（1）求∠A的值；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：本题（1）将条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求出A的余弦值，从而求出A的值；（2）由余弦定理得到边的相等关系，利用基本不等式求出bc的最大值，再结合正弦面积公式，求出△ABC面积的最大值，得到本题结论．

解答： 解：∵在△ABC中，（2b-c）cosA-acosC=0，
∴（2b-c）×

b2+c2-a2

2bc

-a×

a2+b2-c2

2ab

=0，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（2）由（1）知：A=

π

3

，
又∵a=

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得到：
3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，（当且仅当b=c时，取等号）
∴△ABC面积：S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

3

．
∴△ABC面积的最大值为：

3

4

3

．

点评：本题考查了用余弦定理、正弦面积公式、基本等式，本题难度不大，属于基础题．