Question

【题目】如图，某地有一块半径为R的扇形AOB公园，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB＝，OA，OB，为公园原有道路.为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在上选取一点M，新建道路OM及与OA平行的道路MN（点N在线段OB上），设AOM＝.

（1）如何设计，才能使市民从点O出发沿道路OM，MN行走至点N所经过的路径最长？请说明理由；

（2）如何设计，才能使市民从点A出发沿道路，MN行走至点N所经过的路径最长？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径最长，详见解析（2）当时，市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径最长，详见解析

【解析】

（1）由题意知OM＝OA＝R，且，由正弦定理得，则，根据正弦函数的单调性即可求出答案；

（2）由题意得市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径长，求导得函数的单调性，由此可求出答案．

解：（1）由题意知OM＝OA＝R，且，

在△OMN中，由正弦定理得，

于是，

从而市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径长

，

∴当即时，取最大值，

即当时，市民从点O出发沿道路OM，MN行走所经过的路径最长；

（2）市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径长，

，

当，时，，从而恒成立，

∴在上单调递增，

∴当时，取最大值，

即当时，市民从点A出发沿道路AM，MN行走所经过的路径最长．