Question

【题目】某高速公路全程设有2n(n≥4，)个服务区.为加强驾驶人员的安全意识，现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A或宣传标语B.

（1）若每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为，入口处设置宣传标语B的服务区有X个，求X的数学期望；

（2）试探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机在走该高速全程中，随机选取3个服务区休息，看到相同宣传标语的概率最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）两种宣传标语1：1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为

【解析】

（1）由题意得每个服务区入口处设置宣传标语B的概率为，则X~B(2n，)，由此可求出答案；

（2）由古典概型的概率计算公式可得，记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M，看到相同宣传标语的概率P＝， 设该高速公路全程2n个服务区中，入口处设置醒目的宣传标语A的有m(m，m≤2n)个，分类讨论，利用数列中邻项作差法（即根据相邻两项之差的符号判断其单调性）结合组合数的性质可求得的最小值，从而求出答案．

解：（1）∵每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为，

∴每个服务区入口处设置宣传标语B的概率为，

∴X~B(2n，)，∴；

（2）长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，共有种选取方法，

长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，

记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M，

则其概率P＝，

设该高速公路全程2n个服务区中，入口处设置醒目的宣传标语A的有m(m，m≤2n)个，

①当时，，

令，，

则当时，，

∴当时，；当时，，

∴当时，，即；

②当，时，，显然，

∴，

∵，∴，

∴，

即，

当，时，，

∵，时，，或，或，

∴同②，；

综上，当时，，，

即两种宣传标语1：1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为．