【题目】已知函数f(x)=aex﹣x,
(1)求f(x)的单调区间,
(2)若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立,求的最小值.
【答案】(1)答案见解析.(2)
【解析】
(1)先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性的关系即可求出;
(2)先根据(1)利用导数和函数最值的关系求出,可得,设,利用导数求出函数的最小值即可.
(1)f′(x)=aex﹣1,
当a≤0时, <0,f(x)在R上单调递减,
若a>0时,令=aex﹣1=0,x=﹣lna,
在x>﹣lna时, >0,f(x)为增函数,
在x<﹣lna时, <0,f(x)为减函数,
所以,当时,的单调减区间为,无增区间;
当时,的单调减区间为,增区间为.
(2)f(x)=aex﹣x,由题意f(x)min≥b,
由(1)可知,当a≤0时,f(x)在R上单调递减,无最小值,不符合题意,
当a>0时,f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b,
∴,
设h(a),则 ,
a∈(0,1], <0;a∈[1,+∞),≥0,
∴h(a)min=h(1)=1.
所以的最小值为.
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【题目】年月日,某地援鄂医护人员,,,,,,人(其中是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地,他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹,让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照,则领导和队长站在两端且相邻,而不相邻的排法种数为( )
A.种B.种C.种D.种
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【题目】某高速公路全程设有2n(n≥4,)个服务区.为加强驾驶人员的安全意识,现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A或宣传标语B.
(1)若每个服务区入口处设置宣传标语A的概率为,入口处设置宣传标语B的服务区有X个,求X的数学期望;
(2)试探究全程两种宣传标语的设置比例,使得长途司机在走该高速全程中,随机选取3个服务区休息,看到相同宣传标语的概率最小,并求出其最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点,分别是曲线,上两动点且,求面积的最大值.
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【题目】已知椭圆经过抛物线的焦点,上的点与的两个焦点所构成的三角形的周长为.
(1)求的方程;
(2)若点关于原点的对称点为,过点作直线交于另一点,交轴于点,且∥.判断是否为定值,若是求出该值;若不是请说明理由.
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料可知y对x呈线性相关关系,且线性回归方程为y=a+bx,其中已知b=1.23,请估计使用年限为20年时,维修费用约为_________
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【题目】已知椭圆,P是椭圆的上顶点,过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A,设点A关于原点的对称点为B
(1)求面积的最大值;
(2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部,求斜率k的取值范围.
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【题目】如图,已知函数的图象与y轴交于点,与x轴交于A,B两点,其中,.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,求函数的单调递减区间.
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【题目】如图1,已知等边的边长为3,点,分别是边,上的点,且,.如图2,将沿折起到的位置.
(1)求证:平面平面;
(2)给出三个条件:①;②二面角大小为;③.在这三个条件中任选一个,补充在下面问题的条件中,并作答:在线段上是否存在一点,使直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.注:如果多个条件分别解答,按第一个解答给分
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