Question

【题目】已知椭圆经过抛物线的焦点，上的点与的两个焦点所构成的三角形的周长为．

（1）求的方程；

（2）若点关于原点的对称点为，过点作直线交于另一点，交轴于点，且∥．判断是否为定值，若是求出该值；若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，为定值2．

【解析】

（1）先求出抛物线的焦点的坐标，再由经过点得出的值，最后利用椭圆的定义以及题中条件求出，从而得解；

（2）先设出直线的方程，求出点的坐标，可得的值，再把的方程与的方程联立，求出点的坐标，从而得的值，根据已知求出，根据椭圆的对称性，求出，即可判断是否为定值.

（1）因为抛物线的焦点，所以，

因为上的点与的两个焦点所构成的三角形的周长为，

所以，所以，

所以，

所以的方程为.

（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，

令，得，即，所以，

由，得，解得，

即， 所以，

因为∥，所以直线的方程为，

由，得，解得，

所以，

根据椭圆的对称性，知，即，

所以，

故为定值，该定值为2.