Question

已知函数f(x)＝ax²－(a＋2)x＋lnx.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y＝－2    （2）[1，＋∞)

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x²－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切线方程是y＝－2.
(2)函数f(x)＝ax²－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)．
令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，
得x＝或x＝.
当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
当1<<e时，f(x)在[1，e]上的最小值f()<f(1)＝－2，不合题意；
当≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减．
所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合题意．
综上a的取值范围为[1，＋∞)．