Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N⁺），数列{b_n}满足b_n=2ⁿa_n．
（I）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=

n+1

n

a_n，其前n项和为T_n（n∈N⁺），试比较T_n和

5n

2n+1

的大小．

Answer 1

分析：（I）利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”可得T_n，再利用“作差法”和“放缩法”即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：∵S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N⁺），当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2．
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，
化为2nan=2n-1an-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n．∴b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a1=

1

2

．
又b₁=2a₁=1，∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴an=

n

2n

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得cn=

n+1

n

•an=

n+1

2n

，
∴Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n+1)×(

1

2

)n，

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+(n+1)×(

1

2

)n+1，
∴

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

．
∴Tn=3-

n+3

2n

．
∴Tn-

5n

2n+1

=3-

n+3

2n

-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

，
∵当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．
当n=1，2时，Tn＜

5n

2n+1

．

点评：本题综合考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等差数列的通项公式、“错位相减法”、“作差法”和“放缩法”等基础知识与基本方法，属于难题．