Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点O且圆心在曲线上.

（Ⅰ）若圆M分别与轴、轴交于点、（不同于原点O），求证：的面积为定值；

（Ⅱ）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且，求圆M的方程；

（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点、， 为直线上的动点，直线，与圆M的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为，求出圆M分别与x轴、y轴交于点A、B的坐标，利用面积公式，可得：△AOB的面积为定值；

（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再验证，即可求圆M的方程；

（Ⅲ）设，整理得．①设直线GH的方程为，代入，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论．

试题解析：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为，

即.

令，得；令，得.

（定值）.

（Ⅱ）由，知.

所以，解得.

当时，圆心M到直线的距离小于半径，符合题意；

当时，圆心M到直线的距离大于半径，不符合题意.

所以，所求圆M的方程为.

（Ⅲ）设，，，又知，，

所以，

.

因为，所以.

将，代入上式，

整理得. ①

设直线的方程为，代入，

整理得.

所以，.

代入①式，并整理得，

即，

解得或.

当时，直线的方程为，过定点；

当时，直线的方程为，过定点

考点：圆的方程；直线与圆的位置关系；分析思考能力和计算能力.