Question

10．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，$\frac{1}{2}$），求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，根据题意确定出|AB|与|OA|的长，利用勾股定理求出|OB|的长，进而确定出a与b的值，即可确定出椭圆M方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据线段AB的垂直平分线经过点（0，$\frac{1}{2}$），得到直线AB斜率存在，分两种情况考虑：若直线AB斜率为0，得到线段AB的垂直平分线为y轴，表示出三角形AOB面积，利用基本不等式求出面积的最大值；直线AB斜率不为0，设直线AB为y=kx+t，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂，进而表示出$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）与$\frac{1}{2}$（y₁+y₂），根据斜率计算方法列出关系式，整理后记作①，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线的距离d，以及|AB|的长，进而表示出三角形AOB面积，求出三角形AOB面积的最大值即可．

解答 解：（1）∵椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，
∴四边形ABCD是菱形，且|AB|=2，∠ABC=60°，
∴△AOB为直角三角形，|OA|=1，
根据勾股定理得：|OB|=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵线段AB的垂直平分线经过点（0，$\frac{1}{2}$），
∴直线AB斜率存在，
当直线AB斜率为0时，线段AB的垂直平分线是y轴，则有x₁=-x₂，y₁=y₂，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|2x₁|•|y₁|=|x₁|•|y₁|=|x₁|•$\sqrt{1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}）}$=$\sqrt{\frac{1}{3}{{x}_{1}}^{2}（3-{{x}_{1}}^{2}）}$，
∵$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（3-{{x}_{1}}^{2}）}$≤$\frac{{{x}_{1}}^{2}+3-{{x}_{1}}^{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当|x₁|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，S_△AOB的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB为y=kx+t，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，
消去y得：（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
当△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{6kt}{3{k}^{2}+1}$，即$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{3kt}{3{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{t}{3{k}^{2}+1}$，
∵$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}+\frac{1}{2}}{0-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{1}{k}$，
∴3k²+1=4t②，
代入①得：4t＞t²，
解得：0＜t＜4，
∵原点到直线AB的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4（9{k}^{2}+3-3{t}^{2}）}}{3{k}^{2}+1}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4（9{k}^{2}+3-3{t}^{2}）}}{3{k}^{2}+1}$•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{3（4t-{t}^{2}）}$，
∵0＜t＜4，∴当t=2，即k=±$\sqrt{\frac{7}{3}}$时，S_△AOB取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上，S_△AOB的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及的知识有：椭圆的简单性质，勾股定理，等边三角形的性质，根与系数的关系，直线与椭圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．